Lokzugkraft - Die Erste
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Hier stellen wir uns eine populäre Aufgabe: Wieviele Wagen kann eine Lok ziehen? Wie wir sehen werden, hat das Ergebnis überraschende Konsequenzen.
Zur Berechnung der maximalen Wagenzahl benötigen wir die Zugkraft Z der Lok und den Reibungswiderstand R der Wagen. Dann ist die maximale Anzahl der gezogenen Wagen
Bestimmen wir zuerst die Zugkraft der Lok. Diese ist begrenzt durch die Kraft, welche durch die Haftreibung vom Rad auf die Schiene übertragen werden kann. Wird die maximale Haftreibung überschritten, so drehen die Räder der Lok durch. Auch wenn die Lok prinzipiell mehr Drehmoment aufbringen könnte, wird sie nur so viel Kraft auf die Schiene bekommen, wie die Haftreibung der Räder es zulässt.
Die Haftreibung ist bestimmt durch das Lokgewicht und den Haftreibungskoeffizienten der Lokräder. Bei einem Lokgewicht $G_L$ und einem Haftreibungskoeffizienten $c$ ergibt sich die maximale Zugkraft zu
Der Haftreibungskoeffizient für den Kontakt von Stahlrädern auf Blechgleisen ist von Situation zu Situation verschieden und vom Verschmutzungsgrad der Gleise abhängig. Eine gute Nähererung dafür ist die Haftreibung von blankem Stahl auf Stahl mit einem Haftreibungskoeffizienten von ca. 0.17. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt etwa 0.1.
Das heißt, dass z.B. eine R66/12920 mit Stahlrädern und 950g Gewicht eine maximale Zugkraft von $0.17\cdot950g = 160g$ aufbringen kann. Wenn die Lok das Schleudern anfängt beträgt die Zugkraft sogar nur noch $0.1\cdot950g = 95g$.
Nun zum Reibungswiderstand der Wagen:
Diesen kann man nicht hinreichend genau berechnen, sondern diesen muss man in der Praxis messen. Der Reibungswiderstand hängt nicht nur von der Leichtgängigkeit der Wagenlager, sondern auch vom durchfahrenen Kurvenradius und von der Steigung der Gleise ab.
Wir messen daher die Zugkraft, die benötigt wird, um einen Wagen in der Ebene aus dem Stillstand ins Rollen zu bringen. Unser Testaufbau besteht aus einer Briefwage und einer Umlenkrolle, die man sich provisorisch aus einer Wagenachse basteln kann:
Damit ergeben sich folgende Zugkräfte exemplarisch für zwei angehängte Personenwagen 1751 mit einem Gewicht $G_W \approx 300g$:
| Kurvenradius | Zugkraft Z | Mittlere Zugkraft Z’ pro Wagen | Zugkraftkoeffizient $C = \frac{Z'}{G_W}$ |
|---|---|---|---|
| - | 15–20g | 8g | 0.029 |
| 122cm | 20–25g | 12g | 0.038 |
| 75cm | 30–40g | 17g | 0.058 |
Der Zugkraftkoeffizient $C = \frac{Z'}{G_W}$ ist in guter Näherung unabhängig vom Wagengewicht, so dass gilt:
Damit ergibt sich die Anzahl der maximal gezogenen Wagen wie folgt:
Auf einer ebenen geraden Strecke ergibt sich daher für eine R66/12920 mit 950g Gewicht folgende Wagenzahl für 4-achsige Personenwagen 1751 mit ca. 300g Gewicht:
Für eine 3620er Kurve in der Ebene ergibt sich lediglich eine Anzahl von:
Für eine 3610er Kurve in der Ebene ergibt sich immerhin noch eine Anzahl von:
Wie schaut es nun aber auf der schiefen Ebene aus? Bei einer Steigung von x Prozent erzeugt sowohl die Lok als auch jeder Wagen eine zusätzliche Hangabtriebkraft:
Der gesamte Zug benötigt daher eine zusätzliche Zugleistung
Damit ergibt sich ein neuer Ansatz für die maximale Wagenanzahl am Hang:
Wir rechnen wieder ein Beispiel für eine R66/12920 bei einer Steigung von 2%:
Hier die komplette Wagenlängentabelle:
| $ N_{R66/12920}$ | Gerade | 3610er Kurve | 3620er Kurve |
|---|---|---|---|
| Steigung 0% | 19 | 14 | 9 |
| Steigung 2% | 9 | 8 | 6 |
| Steigung 2.5% | 8 | 7 | 5 |
| Steigung 3% | 7 | 6 | 5 |
Als Schlußfolgerung sollte man keine Steigungen mit 3620er Kurven bauen und auch keine Steigungen, die steiler sind als 2.5%. Damit ergibt sich eine Zuglänge von 8 Wagen, die durchgängig auf allen Kurven und Steigungen fahrbar ist.
Diese Berechnungen beziehen sich wohlgemerkt auf den Fall, dass man einen vollkommen sicheren Zugbetrieb wünscht, bei dem man an jedem Punkt der Strecke sicher halten und auch wieder anfahren will. Wenn man mit einem gewissen Schwung in den Hang geht, kann man natürlich mehr Wagen als in obiger Rechnung mitnehmen. Ein sicheres Anfahren ist aber nicht mehr gewährleistet.
Es gilt ebenfalls zu bedenken, dass die obigen Rechnungen nur unter optimalen Bedingungen gelten. Jede kleine Unebenheit oder Verschmutzung der Gleise würde sofort zum Überschreiten der maximalen Zugkraft und damit zum Schleudern der Lok führen. Man sollte daher für Gleisanlagen mit Steigungen eine Zugkraftreserve von ca. 40% berücksichtigen. Dies entspricht näherungsweise dem Unterschied von Haft- und Gleitreibungskoeffizient. D.h. bei 2% Steigung zieht eine R66/12900 rein rechnerisch einen Zug mit 9 Wagen. In der Praxis sollte man damit rechnen, dass man nicht mit mehr als 5 Wagen zuverlässig auf Steigungen anfahren kann. Eine Anfahrsituation sollte man also auf Steigungen vermeiden.
Das Zugkraftverhältnis wird noch ungünstiger, wenn man nicht von Stahlrädern sondern von Zinkdruckgussrädern ausgeht. Der Haftreibungskoeffizient von Stahl auf Pb-Sn beträgt etwa 0,15. Entsprechend ist die Zugkraft von Loks wie R12910 und R12900 um ca. 10% erniedrigt. Dies ist aber nur ein theoretischer Wert, denn die rauhere Oberfläche von Zinkdruckgussrädern im Vergleich zu Stahlrädern haben in der Praxis auf Blechgleisen sogar einen ca. 50% höheren Haftreibungskoeffizienten.
Eine Möglichkeit, die maximale Zugkraft zu erhöhen, ist das Lokgewicht zu erhöhen. Man kann z.B. ein Säckchen Bleischrot bzw. Schrotkugeln im vorderen Teil des Gehäuses verstauen. Blei hat eine relative Dichte von $11\frac{g}{cm^3}$. Um die Zugkraft um 25% zu erhöhen, benötigt man etwa 200g Blei. Dies entspricht etwa 20 ccm Bleischrot für eine maximale Wagenlänge von ca. 10 Wagen.
Für eine Erhöhung der Zugkraft um 50% bräuchte man schon fast ein Pfund Blei. Das ist unrealistisch und schlecht für die Lager und das Getriebe. Dann lieber 100% Erhöhung durch Doppeltraktion. Das reicht für ca. 15 Wagen auf Steigungen und in der Ebene entsprechend für bis zu 30 Wagen. Schwerere Loks als eine R66/12920 ziehen entsprechend längere Züge auch ohne Doppeltraktion.
Eine interessante Alternative zur Gewichtserhöhung ist Kupfer bzw. Messing. Kupfer ist mit 9g pro ccm nur unwesentlich leichter als Blei mit 11g pro ccm. Auf dem Wertstoffhof findet man Unmengen von schönsten Kupfer- oder Messingabfällen. Daraus kann man sich ein paar schöne Lokgewichte basteln. Noch dazu komplett umsonst und nicht halb so giftig wie Blei.